- 目次
- 理解
- コード
- まとめ
【理解】楕円の数学的解説
ある2点からの距離の和が常に一定の点の集合が楕円
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$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
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$(x,y)=(a\cos \theta, b\sin \theta)$
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円と楕円の関係（円を伸縮させた形状が楕円）
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【コード】Pythonで楕円を表示
半径 $a$ と $b$ から楕円を表示するコード
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離心率 $e$（ 長軸半径 $a=1$ ）から楕円を表示するコード
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【まとめ】ポイントノート
「楕円」とは
円を伸縮してできる曲線のこと。
定義
2点からの距離の和が一定の点の軌跡を楕円という.
A. 楕円の方程式
原点中心, 横半径 $a>0$, 縦半径 $b>0$ の楕円: $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
B. 楕円の接線方程式
楕円上の $(x_0, y_0)$ を通る接線の方程式: $\displaystyle \frac{x_0}{a^2}x + \frac{y_0}{b^2}y = 1$
離心率
楕円の離心率 $e$ は, (焦点間の距離)/(長軸方向の直径)で与えられる. $0<e<1$ である.
C. 横長の楕円 $(a>b)$
- 焦点からの距離の和: $2a$
- 焦点: $(c, 0)$, $(-c,0)$
- $c^2 = a^2 - b^2$
- 離心率: $e=c/a$
- 焦点 $(ae, 0)$, 準線: $x=a/e$
D. 縦長の楕円 $(a<b)$
- 焦点からの距離の和: $2b$
- 焦点: $(0, c)$, $(0, -c)$
- $c^2 = b^2 - a^2$
- 離心率: $e=c/b$
- 焦点 $(0, be)$, 準線: $y=b/e$
ポイント解説
定義
距離の和を $2a$, 焦点を $\mathrm{F}$ と $\mathrm{F}'$, 動点を $\mathrm{P}$ とすると, $\mathrm{PF} + \mathrm{PF'} = 2a$.
A・C
横方向に長い楕円の図:
C・D
$a=b$ のときは円になる.
離心率
(焦点からの距離)と(準線からの距離の比) が $e:1$ になる点の軌跡は楕円である。
イメージ
楕円は自然に現れる。
