- まとめ
- 表紙
- ①理解
「等比数列」とは
隣り合う数の比がいつも等しい数列のこと。
漸化式
$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = r$
用語
$r$ を公比という（$r>0$, $r \neq 1$）.
A. 一般項
$a_n=a r^{n-1}$
B. 和の公式
$\displaystyle \sum_{k=1}^n ar^{k-1} = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$
C. 等比中項の関係
$a$, $b$, $c$ がこの順で等比数列であるとき,$$b^2 = ac$$
ポイント解説
例
$1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $\cdots$
・漸化式：$a_{n+1} = 2 a_n$
・一般項：$a_n = 2^{n-1}$
・和の式：$S_n = 2^n-1$
B
$S_n= a+ ar +\cdots + ar^{n-1}$ と等比数列の和を $S_n$ と置きます。$rS_n - S_n = ar^n - a$ が成り立つことからBは導出できます。
C
$\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$ という「比が等しい」ことと同値です。
等比数列の和の公式
等比数列 $\{a_n \}$ の初項を $a$, 公比を $r(\neq 1)$ とします。
この等比数列の初項から第 $n$ 項までの和は次の公式でした。
$$\sum_{k=1}^n r^{k-1} = \frac{r^n-1}{r-1}$$
この形を基本とします。次のように少し違う形であるときの、計算テクニックを伝えます。
①公比の指数
$$\sum_{k=1}^n r^{\square} = r^{\triangle}\sum_{k=1}^n r^{k-1}$$
②初項の番号
$$\sum_{k=\square}^n r^{k-1} = \sum_{k=1}^n r^{k-1} - \sum_{k=1}^{\square -1}r^{k-1}$$
③末項の番号
$$\sum_{k=1}^{\square} r^{k-1} = \frac{r^\square-1}{r-1}$$
