分配法則、交換法則、結合法則の問題は小学校の算数で、法則を基盤にするのが数学

中学校の授業の初め頃に、分配法則、交換法則、結合法則を習います。

なぜ習うのでしょうか？

「数を計算するときに成り立つことだから、計算を早くしたり、複雑な計算ができるようになるために、改めて法則として習っているんだよ。」

と教わったかもしれません。半分正解です。

残りの半分がめちゃくちゃ大切です！このブログでは、3つの法則を勉強する理由を伝え、数学の立場を伝えます！

このブログを読めば、あなたは、算数を学ぶ意識と数学を学ぶ意識の区別がつきます。もしかすると、（残念なことですが、）あなたは算数から数学に変わってきた事の意味をを学ばずに今まで来たのかもしれません。

分配法則、交換法則、結合法則の問題

3つの法則を整理しておきます。文字を使って書きますが、次の通りになります：

分配法則：$a \times (b+c) = a \times b + a \times c$
交換法則：$a + b = b + a$ もしくは $a \times b = b \times a$
結合法則：$(a + b) + c = a + (b+c)$ もしくは $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$

です。それぞれの式は、眺めて考えるのではなく、具体的な数字で確かめてみることが大切です。

今回は、$a = 3$, $b=4$, $c=5$ としてみます。他の数字でも確かめてみましょう。

分配法則は、次の通り一致します！
- (左辺) = $3 \times (4 + 5)$ = $3 \times 9 = 27$
- (右辺) = $3 \times 4 + 3 \times 5$ = $12 + 15 = 27$
交換法則は、次の通り一致します！積の交換法則は省略します。
- (左辺)= $3+4 = 7$
- (右辺)= $4+3=7$
結合法則は、次の通り一致します！積の交換法則は省略します。
- (左辺)= $(3+4)+5$ $=7+5=12$
- (右辺)= $3+(4+5)$ $=3+9=12$

これで、数の計算に関する規則を確かめることができました。

ここで疑問を持つ人もいると思います←この疑問が大切！。文字を使って、上で法則として掲げていますが、すぐに腑に落ちているでしょうか？

具体的な数字で3つの法則の計算規則は成り立つことは信じられる。でも、文字の計算に、この法則が成り立つの？ってか、そもそも文字の計算って何？

このように疑問を抱いた人は、どのくらいいるでしょうか？当然の疑問です！実は、文字の計算では、3つの法則が（元から）成り立つ、のではなく、3つの法則が成り立つように計算を決める（定義する）と考えるのです！

3つの法則を学ぶ理由を最も単純に解答すると、次の2つです。

自然数（や分数、小数）の数に共通して成り立つ性質を抜き出したものが、分配法則、交換法則、結合法則であるから学ぶ。
整数（マイナスの数など）とか、文字の計算のルールを決めていくにあたり、分配法則、交換法則、結合法則を基準にして決めるから学ぶ。（3つの法則が成り立つよう新しい計算を決める。）

この①の解答は多くの皆さんの知っていることです。しかし、マイナスの数や文字の計算、ベクトルの内積や複素数の計算など、身の周りにあるかどうかよく分からない数の計算については、

「この3つの法則が成り立つから計算できる」ではなく「この3つの規則が成り立つように計算を決めていく」という立場で考えます。

この考え方が分かると、算数と数学の区別が付きます。実は、算数とは①の考え方をしていく勉強であり、数学とは②の考え方をしていく学問のことを指します。算数と数学には明確に違いがあります！

おおよそ、この考えが理解できると、算数の殻を破って数学としての理解ができることになります。

マイナスという新しい数の計算規則を決めていくことについては、こちらのブログに簡単に説明を載せています。また、複素数という新しい数の計算規則を決めていくことについては、こちらのブログで随時更新しています。

今回の記事は、3つの法則を学ぶ意義を2つ伝えました。片方の意義は知っていたと思いますが、他方の意義を明確に解答できる人は少ないと思います。

この区別こそが、算数と数学の違いで、小学校から中学校に進学して変わることです。この違いをきちんと分かった上で、中学校、高校（、大学・・・）と数学を学んでいきたいですね！

3つの法則は、なぜ改めて習うかの理由は、数字の計算を早くするためだとか、展開とかの計算をするためではありません。新しく現れる文字の計算のルールを決めること、ルートの計算を決めること、そして、マイナスの数の計算のルールを決めること、に他なりません。

3つの法則を基準にして、マイナスの数の計算を定めること、$(-1) \times (-1) = 1$ の証明をすることは、こちらの記事に書いてありますので、ぜひご覧ください！

こういった新しい数の計算のルールを決めるために今まで知っている数の計算の規則を整理した、改めて認識し直した、これこそが数学を深く理解するために必要なことです。

ここまで、お読みいただきありがとうございます！