因数分解なんて、大人になってから使わないよ。因数分解なんて、社会で使わないよ。と多く耳にします。因数分解意味分からん、ともよく聞きます。
回答します → 使いません！
えっ、じゃあ、なんで勉強しているの？ってなると思います。もちろん、理数・工学的な職業に就く人は、実際に利用するという意味で因数分解が必要であることにイメージが付きます。
ネットで検索してみると、「因数分解（数学）は、論理的な考え方の練習のために勉強するのだよ」という意見が多くあります。たしかに一理あるのですが、因数分解を勉強する意義への回答には、遥かに遠回りし過ぎていると感じてしまいませんか。（私は感じます。）
このブログは、「方程式を解くため」に必要だ、と回答するブログです。いやいや、余計意味が分からないよという声も聞こえてきます。おっしゃる通りです！
しかし、方程式を考えてあげると、"確かな意味付け" を行うことができます。ボールを投げたり、ジャンプをしたりする放物線の話やCGの話を織り交ぜながら、因数分解の意義と方程式の意味を解説します。
このブログの話を聞くと、数学の見方や考え方を広げることができます。
目次
数学の因数分解の意味の理解や指導に困っているあなたへ
あなたは、次のうち、どれか1つでも感じたことはありませんか。
- 公式の計算はできるけれども、結局何をしているのか分からない。（計算の方法は教えることができるけれども、結局それだけになってしまう。）
- 学校や塾の先生に言われたことは分かるけれども、しっくりきていない。（教科書に書いてあることしか教えることができず、それ以外の質問にはアヤフヤな回答しかできない。）
- ネットで検索して解説を見ても、自分の疑問の答えが見つからない。（ネットで検索しても、生徒の質問に対して的を得た答えが見つからない。）
- この項目を指導する（教える）ときに、気をつけておくべきことを知っておきたい。
どれか1つでも当てはまったあなたにピッタリなブログです。特に、因数分解に限定して話を進めます。最後まで読んでみてね。
今日の話題は、
因数分解って何の役に立つの？
ということに対して、
方程式を解くため
という回答について解説します。では、具体的に解説を進めていきましょう。因数分解や方程式の基本が分かっている方は、初めの部分は飛ばしてください。
因数分解の意義を伝えるために、身の回りの問題から数学を考えます。今回のブログのあらすじは、次の通りです。
- ボールを飛ばしたり、ジャンプしたりするときの軌道を放物線と呼ぶが、これをCGで正確に表現する方法もしくは地面との着地点を計算で求めることができれば、CGの役に立つ。
- 放物線は、2次関数で表現されるらしい。
- 地面着地点を調べたいのだから、2次関数の式で $y=0$ とする。
- 方程式が登場する。（方程式は地面との着地点を求める式という意味がある！）
- 方程式の文字 $x$ に代入して成り立つ数値を探すことをしないといけない。
- 因数分解がその数値を探すことの役に立つ！！（因数分解は地面との着地点を求めることことの役に立つ！）
- この因数分解の考え方は、将来使わない人が多いでしょう。でも、CGの仕組みや、放物線の仕組みが因数分解で解決できるのだと知っていたり、因数分解がベースとなってCGや放物線が計算されるのだと知っていると、世界や身の回りへの見方が広がります。
因数分解の基本を思い出す
因数分解の計算方法を復習しておきましょう。一般的に説明しても、分かる人には分かっている、分からない人には全く分からないとなってしまうので、具体的な例で計算方法を復習します。（2次式で説明します。）
2次式とは、2乗の項がある式（3乗以上の項がない）のことです。例えば、$x^2-5x$ や $-x^2 + 5x$, $x^2 - 5x + 6$ という式が挙げられます。因数分解とは、このような2次式を、より次数の少ない式の積（今回は1次式と1次式）で表現するテクニックのこと、もしくは表現方法のことです。
（実は、この時点で因数分解のメリットはありますが、今回は、より大きな理解を得るために、今得られるメリットはスルーします。）
具体例1
$x^2 - 5x$ については、共通因数でまとめる、といった技法を習ったと思います。今回の式では、
$x^2 - 5x = x(x-5)$
と計算できますのね。もともとの式を「$x$という1次式」と「$x-5$という1次式」の積で表現することができました。→まさしく、因数分解です。
大切なことは、$x(x-5)$ という式が、本当に、$x^2-5x$ と同じ式なのか。このためには、$x(x-5)$を分配法則を使って計算して、$x^2-5x$ になるかを確かめれば良いのですね。
$x(x-5) = x \times (x-5)$ $= x \times x \ - \ x \times 5 = x^2-5x$
具体例2
$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$ を考えてみましょう。
学校で習うテクニックは、「◯+□=$-5$」と「◯×□=$6$」に当てはまる数字を探して、$(x + \bigcirc)(x + \square)$としなさい、ですね。今回は、◯と□は、$-2$と$-3$であれば、ピッタリ当てはまります。
今回も、逆に計算をしてみて、両辺が一致するものだ、ということも確かめておくことも大切です。$(x-2)(x-3)$について、分配法則を丁寧に利用して、展開してあげると、ちゃんと $x^2 - 5x + 6$ と一致します。
ここでは行いませんが、計算を確かめてみると、ピッタリと一致することが分かります。この作業をもって、$x^2 - 5x+6$ と $(x-2)(x-3)$がピッタリと同じモノであることが分かります。
$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$
だし、
$(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$
ということです。
数学の方程式って何なのさ
方程式の説明を、ないがしろにしている数学の解説者が、実は、多い気がしています。方程式の定義を確認しましょう。(方程式とは何なのか、ということです。)
方程式とは、文字を含む式のことで、ある特定の数字に対してのみ成り立つ式のことを言います。
例えば、$x^2 - 5x + 6 = 0$ という式を考えてみましょう。この式は「$x$」という文字の式です。
気をつけて欲しいことは、$x^2 - 5x + 6$という「文字式」だけでは、方程式とはなりません。だって、この式には「=」がありませんので、成り立つとか成り立たないとか、そういったこと検討できる余地がありません（成り立つかどうかの判定条件がない）。
$x^2 - 5x + 6 = 0$ のように、「=」で繋がった1つの式があれば、方程式として考えられます。（「0」となるか、左辺と右辺が一致するか、という判定条件が得られるからです。）
ここで、（数学が分かる人は）次のように考えています。
疑問
「この文字$x$の部分が数字だったとすると、どんな数値ならば、ピッタリと $0$ になるのかな？」
パッと考えて分かりますか？
私の好きな数字は「8」です。文字 $x$ の部分を「8」に代えてみましょう。（これを、$x$ に $8$ を代入する、と呼びます。）
$x^2 - 5x + 6 = 0 \rightarrow \ 8^2 - 5 \times 8 + 6 = 0 \ \rightarrow \ 30 = 0$
です。あらら、ダメですね。左辺と右辺が一致しません。
他の数字を考えてみましょう。例えば、$x$に$2$を代入してみます。
$x^2 - 5x + 6 = 0 \rightarrow \ 2^2 - 5 \times 2 + 6 = 0 \ \rightarrow \ 0 = 0$
今回は、左辺と右辺がピッタリ一致しましたね。
方程式とは、文字を含む式のことで、ある特定の数字に対してのみ成り立つ式のことでした。$x$ が $2$ のときに、左辺と右辺がピッタリ一致し、この式は成り立ちます。$x^2 - 5x + 6 = 0$ は方程式と言えます。
方程式が何かの疑問は解決したけど、
遠回りに感じるかもしれませんが、たくさん疑問を感じる人の方が、数学をよりよく理解できます。ここまでの説明だけだと、あなたは以下の疑問を持って、当然だと思います。
- $x$ が $2$ というのは、ある特定の数値ということが分かったけれども、他の数値は、考えないの。（他の数値のときに、方程式は成り立たないの？）
- $x$ が $2$ というのは、ある特定の数値ということが分かったけれども、どうやって見つけたの？私は検討も付かない。
- そもそも、方程式をなんで考えたの？ある特定の数値なんて見つけて何なのさ？（何の意味があるの？）
1つ目と2つ目の疑問には、因数分解が答えてくれます！最後の疑問には、あなたの身の回りにあることを考えてみると、答えが見えます。
以下、この疑問に答えていきましょう。
（疑問を持つこと、問いを持つこと、恐れないでくださいね。勉強するときに、最も大切なことの一つです。断言します。）
方程式をCGの世界から見てみよう。
きちんとしたCG（コンピュータグラフィック）を用意できないので、申し訳ありません。例えば、アニメ映画でもゲームでも、主人公がジャンプしたり、何かが落下したり、そういった描写が描かれると思います。日常生活でも、ジャンプしたり、ボールを投げたりすると思います。
昔の人（アルキメデスとか、ニュートンが有名です）は、その軌道の仕組みを理解したいと考えていました。ジャンプしたとき、どのように上がって、どのように下がっていくのか。あなたも、そう思ったことがあるかもしれません。
走り高跳びのようにジャンプしたり、ボールを投げたり、噴水から出る水の形は共通していることに昔の人は気がつきました。これらの形のことを放物線と呼びました。
このブログで解説することはできませんが、実は、この放物線は（どんな放物線であっても）、2次関数と呼ばれるモノで表されることが分かっています（←実験で確かめてきました）。
あなたが、高校の数学Iを履修したのならば、2次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフをかいて、放物線であることを確かめたと思います。
放物線を見ていると、またまた問いが生まれると思います。（昔の人は、少なくとも、問いを持ったのです。）
- 最も高いところ（最も低いところ）の場所を数学で計算できないかな
- 地面に着地するときの場所を数学で計算できないかな
1つ目の問いは、平方完成というテクニックを利用すると導くことができます。2つ目の問いに対しては、因数分解が答えてくれます。
2次関数のグラフについては、こちらのブログが補足となります。
2次関数の式の決定の公式の遊び〜平方完成の後の壁〜
「おいしい豚肉と恵比寿さん」の話です。。 平方完成の試練が終わる（計算大変でした）と、「2次関数の式の決定」の単元に入ります。平方完成よりは計算が楽ですが、楽勝…
ますレッスン教室 数学の因数分解をCGの世界から見てみよう
ここまでの疑問をまとめます。他にも疑問はありましたが、今回は忘れます。
『物を投げたり、ジャンプしたりしたときに、放物線（$y=ax^2+bx+c$ という式）になるのは分かった。
ジャンプして、着地する場所を計算で求めるには、どうしたら良いのですか？』
順番に解説していきます。
方程式を作ろう
2次関数 $y = -x^2 + 5x$ の放物線を考えます。さきほど、ご覧いただいた動画の軌道を作る2次関数です。
この式には、$x$ と $y$ の2つの文字が含まれています。ご存知の通り、グラフを考えたときには、$x$ が横方向で、$y$ が縦方向を表します。縦方向とは高さのことです。
このように考えてみます。
「放物線の高さ $y$ がゼロ（すなわち、地面の高さ）のときの、横方向の位置は、どこですか？」
この問いは、今回の式で表現すると、
「 $y=-x^2 + 5x$ の高さ $y$ がゼロ（すなわち、地面の高さ）のときの、横方向の位置 $x$ は、どこですか？」
となります。さらに問題を言い換えてみましょう。（$y = 0$ とします！）
「$-x^2 + 5x = 0$ のときの、横方向の位置は、どこですか？」
もう気がつきましたか？
この問題に答えるためには、「方程式 $-x^2 + 5x = 0$」が成り立つ特定の数値を求めればよい、と言うことができます。
つまり、地面に着地する瞬間の場所を計算で求めたければ、方程式を考えてあげれば良いわけです。これで、方程式が有意義なものであることが少し分かってくれたと思います。
因数分解を利用してみよう
さて、方程式ができたところで、初めの問題が再燃します。特定の数値をどうやって求めればいいんだろう？
因数分解してみてください。
すると、実は、特定の数値を見つけるヒントが見えるのです（不思議！）。
$-x^2 + 5x$ を因数分解すると、$-x(x-5)$ だから、方程式は、
$-x(x-5) = 0$
となる。
ここまでは問題ないですね。（因数分解が少し難しかったかもしれませんが。。。）
この式を、「$-x \times (x-5) = 0$」と見直してください。
そして、初めの問い（動機）を思い出しましょう。「この式の文字の部分に当てはめて、ピッタリと成り立つ数値は何だろうな？」という問いかけです。
$-x$ と $x-5$ を掛け算して、ゼロになるような、$x$を見つけるわけですね。
答えは、$0$ と $5$ です！どうやって見つけたかというと、2つの数字を掛けてゼロになるんだったら、どっちかの数字がゼロでないといけない、と考えれば良いです。$-x$ が $0$であるためには、$x=0$ であればOK。$x-5$ が $0$ であるためには、$x=5$ であればOK。
↑↑ここが因数分解の意義です↑↑
本当に、代入して良いのか、$-x(x - 5) = 0$ の方程式に代入して確かめてみましょう。
- $-x \times (x-5) \ \rightarrow \ - 0 \times (0-5) \ \rightarrow \ 0 \times (-5) \ \rightarrow \ 0$
- $-x \times (x-5) \ \rightarrow \ -5 \times (5-5) \ \rightarrow \ -5 \times 0 \ \rightarrow \ 0$
です。
もともとの式にも、ちゃんと代入してみましょう。
- $-x^2-5x = 0 \ \rightarrow \ - 0^2 + 5 \times 0 = 0 \ \rightarrow \ 0 = 0 $
- $-x^2-5x = 0 \ \rightarrow \ - 5^2 + 5 \times 5 = 0 \ \rightarrow \ -25+25 = 0 \ \rightarrow \ 0 = 0$
この確かめで、$x$ が $0$ と $5$ は、$-x^2+5x=0$ の特定の数値である、と分かりました。すなわち、5の場所で着地することが分かります。（x=0の場所は、スタート地点なので。）今回のグラフのメモリの単位が「メートル」であれば、「0地点からボールを投げて、ボールは放物線を描き、5m離れた場所に落ちた」と言うことができます。
数学の見方と、他の学問
ボールが地面に着地する場所の計算だとかは、たしかに、大人になっても利用しません。工学系の人には、当たり前中の当たり前の必須事項であることも分かって貰えると思います。
数学的な理論を知っていること
どちらかと言うと、こういった計算を使わなくても日々問題なく "便利に" 暮らせるように、誰かにセッティングしてもらっている訳です。（CGのアニメやゲームを見ること、飛行機が飛ぶこと、パラボラアンテナ、などなど。）
ここまで述べた知識は、あなたがイノベーションを起こすときに、もしかしたら、役に立つ事項なのかもしれません。例えば、スポーツをしている人は沢山いるでしょう。数学とスポーツは全く関係なさそうです。どのスポーツでも極めるときには、しっかりとした頭で考える理論が必要です。このときに、数学の方程式の理論を持ち出すと役に立つかもしれません。（実際には、スポーツ科学には数学は利用されていると思います。）
また、CGのアニメやゲームに、放物線の数学的理論が利用されていなかったら、どうでしょうか？ジャンプの軌道も、ボールの軌道も、目安で作られていたらどうでしょうか？どこかで違和感を感じると思います。（例えば、ルネサンス以前の絵画では遠近法という理論がなく(?)、目分量で奥行きを表現していたので、おかしな絵画が散見されます。）
数学的な見方ができるかということ
ここまで一緒に見てきた見方は、「数学ができる人には当たり前に見えている光景」です。しかし、実際に（高校の）授業で伝えるかどうかと言うと、ないがしろにしがちです。（当たり前すぎて。）
なので、今回、きちんと整理して発信してみました。
また、なぜ、こういった数学の見方が出来る人と出来ない人に大きく分かれてしまうのかを考えてみました。次の2つの環境に分かれてしまうからだということが思い付きます。
- 国語が苦手と言って文章題をしないから。（文章題こそが、数学以外の世界から、数学を見つめる機会なのですが、文章の解釈や文章からの立式が難しいという理由で全く理解しないままでいる、という方が多くいるように見受けられます。）
- 理科が嫌と言って文系で物理をしないから。（今回は、数学を、特に物理の世界から見つめています。理系は物理をある程度するので、こういった見方ができますが、文系で物理との付き合いが希薄である人は、数学の世界だけに閉じ籠って難しい難しい、と藻搔いている印象があります。）
まあ、学校教育の問題ではありますが、数学の世界に閉じこもって喚くのではなく、実は数学以外の世界から数学を見つめることが大切であることを共有して欲しいと切に願っています。
見方が広がると、世界の見え方も変わります。そうすれば、好奇心が刺激され、より幅広く物事を捉えることができるようになります。数理的なモノの見方と呼ばれます、人としての知見を広げることができます。
因数分解の意味のまとめ
今回は、CGと言いながら、あまり、CGを見せることができなかったことが心残りです。もっと、実際のCGアニメの主人公のジャンプシーンなどから問題を設定して学問を楽しみたかったです。これは、おいおいとグレードアップしたいですね、楽しみにしておいてください。
因数分解の意義を伝えるために、身の回りの問題から数学を考えました。今回のブログのあらすじは、次の通りです。
- ボールを飛ばしたり、ジャンプしたりするときの軌道を放物線と呼ぶが、これをCGで正確に表現するには、どうしたら良いのだろうか（⬅️やっていない・笑）。特に、物を投げたときに、地面とぶつかる場所を計算で求めることができれば、CGの役に立つ！
- 放物線は、2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ （今回は、$y=-x^2+5x$）という式で表現されるらしい（⬅️詳しくは言ってない・笑）。
- 高さがゼロの場所（地面）のトコロを調べたいのだから、2次関数の式を $y=0$ とする。
- $ax^2 + bx+c = 0$（今回は、$-x^2 + 5x = 0$ という式だった）という式は方程式だ。（方程式は、モノを投げたり、ジャンプしたりする観点からは、地面との着地点を求める式という意味があるんだ！）
- 方程式の文字 $x$ に代入して成り立つ数値を探すことが検討すべき課題だった。どうやったらいいのかな？
- 因数分解が特定の数値を探す役に立つ！！（つまり、因数分解は地面との着地点を求めることに寄与がある！）
- こういったことは、たしかに、将来使わない人が多いでしょう。でも、CGの仕組みや、放物線の仕組みが因数分解で解決できるのだと知っていると、もしくは、因数分解がベースとなってCGや放物線が計算されるのだと知っていると、モノの見方が広がります。世界や身の回りへの見方が広がります。
7番の項目が得られると、どういった効果があるかの具体的なお話は、今後まとめることができれば良いな〜と思っています。
因数分解の理解の促進になっていただけると幸いです。また、因数分解を指導されるときの一つの口実、一つの指導の流れ、指導で気をつけるべきことろの確認・想定のために、このブログの内容を利用していただけますと非常に嬉しいです。
思っているよりも、なかなか長文になってしまいましたが、授業で丁寧に伝える機会も（なぜか）あまり取ることができませんでしたので、一度まとめてみたかったのです。前提条件が、いささかオカシイ所があるかと思いますが、ご愛嬌ということで許して頂きたく思います。ここまで、ながながとした文章を、飽きずにお読みいただき、どうもありがとうございます。
もしよろしければ、他のブログもお読みいただければ、とても嬉しく思います！あらためて、ありがとうございます。
