- 目次
- 理解
- 実例
- 大学
- コード
- まとめ
【理解】数列の和の数学的解説
数列の和の記号（シグマ公式）について
$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k := a_1 + a_2 + \cdots + a_n$
$\displaystyle \sum_{k=1}^n (pa_k + qb_k) = p\sum_{k=1}^na_k + q \sum_{k=1}^n b_k$
$\displaystyle \sum_{k=1}^n c =cn$
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k =\frac{1}{2}n(n+1)$
※数学的帰納法による証明
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k =\frac{1}{2}n(n+1)$
※ $(x+1)^2 - x^2 = 2x+1$ の利用による証明
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
※数学的帰納法による証明
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 =\left\{ \frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2$
※数学的帰納法による証明
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^4 =\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2 + 3n -1)$
※ $(x+1)^5 - x^5$ の利用による証明
$\displaystyle \sum_{k=1}^n ar^{k-1} =\frac{a(r^n-1)}{r-1}$
※ $rS - S$ による証明
自然数の和について
$\displaystyle 1 + 2 +\cdots + 99+ 100$
$=5050$
$\displaystyle \sum_{k=1}^n (2k-1) =n^2$
奇数の和が足し合わせた個数の平方で表せることを確かめてみよう。
奇数の和
$1$ から $n$ 番目の奇数 $2n-1$ までの和は $n^2$ である.
$1 + 3 + 5+ \cdots + (2n-1) = n^2$
理屈.
奇数を次の図のように並べることで, $n$ 個の奇数の和は辺の長さが $n$ の正方形と見なせる。
したがって, 数の和は $n^2$ となります。
$1$, $3$, $5$, $7$, $9$ の$5$ 個の数の和は, $25$ です。
$5^2$ にもなっている。
$\displaystyle \sum_{k=1}^n (2k) =n(n+1)$
ゆえに, $2$ から $n$ 番目の偶数までの総和は $n(n+1)$ となることが分かる。
等差数列 $\{a_n\}$ と等比数列 $\{ r^{n-1}\}$ の積の和
$S=a_1 + a_2r + \cdots + a_nr^{n-1}$
→ $\displaystyle S= \frac{(1-r)a_1 + dr - \{(1-r)a_n + d \}r^n}{(1-r)^2}$
等差数列 $\{a_n\}$ と等比数列 $\{ r^{n-1}\}$ の積の和について, 簡単に説明しておく。
和 $S$ と, 等比数列の公比 $r$ をかけた $rS$ を上下に並べ, $r$ について同じ次数の項同士を引く.
$\begin{array}{cccccccc}
&S &= &a_1 &+ a_2r &+ \cdots &+ a_nr^{n-1} & \\
&rS &= & &a_1r &+ \cdots &+ a_{n-1}r^{n-1} &+ a_nr^n
\end{array}$
このとき, $\{a_n\}$ が等差数列であることから, $a_2 - a_1$, $a_3 - a_2$, $\cdots$, $a_n - a_{n-1}$ は全て等しく, 等差数列の公差 $(d)$ となる。
したがって, $(1-r)S$ $= a_1$ $+ d (r + \cdots + r^{n-1})$ $-a_nr^n$ を得る。等比数列の和の公式を利用して,
$(1-r)S$ $= a_1$ $\displaystyle + dr \cdot \frac{1-r^{n-1}}{1-r}$ $-a_nr^n$
となる。これを変形すると,
$\displaystyle S= \frac{(1-r)a_1 + dr - \{(1-r)a_n + d \}r^n}{(1-r)^2}$
が得られる。
望遠鏡和について
部分分数分解の利用
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} =\frac{n}{n+1}$
$\displaystyle \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)} =\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$
$\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} \right\}$
分母の実数化の利用
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$ $=\displaystyle \sqrt{n+1}-1$
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$ の分母と分子に, $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ をかければよい。
フィボナッチ数列の和について
フィボナッチ数列 $\{ F_n \}_n$ について, $F_1 = F_2 = 1$, $F_n=F_{n-1} + F_{n-2} (n\geqq 3)$ とする。
$\displaystyle \sum_{k=1}^n F_k = F_{n+2}-1$
$\displaystyle \sum_{k=1}^n F_{2k-1} = F_{2n}$
$\displaystyle \sum_{k=1}^n F_{2k} = F_{2n+1}-1$
$\displaystyle \sum_{k=1}^n F_k^2 = F_nF_{n+1}$
【実例】数列の和が世の中で使われている例
複利積立
$\displaystyle \sum_{k=0}^na(1+r)^k$
顧客生産価値(Life Time Value)
$\displaystyle LTV = \sum_{n=0}^\infty M\left( \frac{A}{100} \right)^n$
割引現在価値(Discount Present Value)
$\displaystyle DPV=\sum_{n=1}^N\frac{F_n}{(1+r)^n}$
将来, 定期的に $N$ 回, 受け取る金銭があれば、それらの合計の割引現在価値は $\displaystyle DPV=\sum_{n=1}^N\frac{F_n}{(1+r)^n}$ である。
将来の各時点での受け取る金額を $F_n=F$ とすると, そのDPVは以下の通り計算されるため, $\displaystyle \frac{F_n}{(1+r)^n}$ の値について和をとっている.
【大学】無限級数の具体例
リーマン・ゼータ関数について
リーマン・ゼータ関数
$\displaystyle \zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots$ ( $s$ は実部が $1$ より大きい複素数 )
バーゼル問題
$\displaystyle {1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots =\frac{\pi^2}{6}$
不思議な足し算について
和が $\pi$ になる
$\displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots =\frac{\pi}{4}$
和が $\log$ になる
$\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots =\log 2$
和が $\sin$ になる
$\displaystyle 1-\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!} - \frac{1}{7!} + \cdots =\sin 1$
和が $\cos$ になる
$\displaystyle 1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}- \frac{1}{6!} + \cdots =\cos 1$
和が $e$ になる
$\displaystyle 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!} + \cdots =e$
【コード】Pythonで数列の和を計算
数列をリストでseqと定める。
数列の和の計算sum(seq)
Pythonのリストの合計を出力するsum()関数の使い方を習得しよう。
説明
sum()関数は、引数にリストを入れることで、リストの要素の合計値を出力する。
Pythonコード. [5, 7, 3, 4, 8]の要素の合計値を計算して出力する。
lst = [5, 7, 3, 4, 8]
sum(lst)
数列の和のリストを作成accumulate(seq)
Pythonのリストの初めからi番目までの和を並べて新しいリストを作るitertools.accumulate()関数の使い方を習得しよう。
説明
itertoolsモジュールを利用する。
accumulate()関数は, 引数にリストを入れることで, そのリストの0番目からi番目までの要素の合計値をi番目とするリストを作成する。
ただし, list()関数を適用しなければ, 実際のリストとして出力されない。
Pythonコード. [2, 7, 5, 3]のリストにaccumulate()関数を適用し新しいリストを作る。
from itertools import accumulate
lst = [2, 7, 5, 3]
result = list(accumulate(lst))
print(result)
リーマンゼータ関数の値mpmath.zeta() sympy.zeta()
$s$ を実部が $1$ よりも大きい複素数とします。ゼータ関数の値 $\zeta(s)$ をPythonで計算してみよう。
ゼータ関数（小数近似）
小数近似を行う場合はmpmathモジュールを利用する。
zeta()関数の引数に $s \neq 1$ の複素数を入力することで, （解析接続された）ゼータ関数の値を出力する。
ゼータ関数（有理数表示）
分数表示を行う場合はsympyモジュールを利用する。
zeta()関数の引数に $s \neq 1$ の複素数を入力することで, （解析接続された）ゼータ関数の値を分数（有理数表示）で出力する。計算を正確にする場合, sympy.S()で型を変えておくと良い。
Pythonコード入力例①. $\zeta(-1)$ と $\displaystyle -\frac{1}{12}$ の値を mpmath.zeta()で出力する。
from mpmath import zeta
print(zeta(-1))
print(-1/12)
Pythonコード入力例②. $\zeta(-1)$ の値を sympy.zeta()で出力する。
from sympy import zeta, S
print(zeta(-1)) # -1/12（有理数で表示）
print(zeta(S(-1))) # -1/12（計算用）
まとめノート
「数列の和」とは
ある規則で並んだ数を足し合わせること。
記号
数列の和 $S_n = a_1 + \cdots + a_n$ を $\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$ と記す.
定数列
定数 $c$ について $\{ c \}_n$ の和は $\displaystyle \sum_{k=1}^n c = nc$ である.
A. 数列 $\{n^p\}_n$ の和
- $1+ 2+ \cdots + n$ $\displaystyle =\sum_{k=1}^n k$ $\displaystyle = \frac{1}{2}n(n+1)$
- $1^2+ 2^2+ \cdots + n^2$ $\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}k^2$ $\displaystyle = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
- $1^3+ 2^3+ \cdots + n^3$ $\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}k^3$ $\displaystyle = \left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$
B. 等比数列 $\{a r^{n-1}\}_n$ の和 $(r \neq 1)$
初項 $a$, 公比 $r$ の等比数列の和は, $\displaystyle \sum_{k=1}^n a r^{k-1} = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$.
C. 和 $S_n$ から一般項 $a_n$ を導く式
$a_1 = S_1$ である. $n \geqq 2$ のとき, $a_n = S_n - S_{n-1}$ である.
ポイント解説
A
数列 $\{ n^p \}_n$ の和は, 二項定理 $$\begin{array}{l}
(k+1)^{p+1} -k^{p+1} \\
= {}_{p+1}\mathrm{C}_{1} k^p + {}_{p+1}\mathrm{C}_{2} k^{p-1}+\cdots +1
\end{array}$$ の両辺それぞれで, $\sum_{k=1}^n$ を計算することで求める。左辺は, $(n+1)^{p+1}-1$ となり, 右辺は, $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^p$, $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^{p-1}$, $\cdots$ で表される。帰納的に, 数列 $\{ n^p \}_n$ の和の式が分かる。
C
初期値 $a_1$ に注意する。
例：$S_n=n^2+1$ は, $S_n-S_{n-1}$ $=$ $2n-1$ だが, $a_1$ $=$ $S_1$ $=$ $2$ である。$$\displaystyle a_n = \left\{ \begin{array}{ll}
2n-1 & (n \neq 1) \\
2 &(n=1)
\end{array} \right.$$
参考(望遠鏡和)
「「項の差」の和」の計算は, 末項と初項の差になる。$$\sum_{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_k) = a_{n+1} - a_1$$
