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今日の授業

双曲線を分かろう!

焦点 $(2, 0)$, $(-2, 0)$ で, 距離の差が $6$ の双曲線の方程式を求めよ

単元のまとめ

双曲線

定義

2点からの距離の差が一定の点の軌跡を双曲線という.

数式

距離の差を $2a$, 焦点を $\mathrm{F}$ と $\mathrm{F}'$, 動点を $\mathrm{P}$ とすると, $$|\mathrm{PF} - \mathrm{PF'}| = 2a$$

方程式(横方向に発散する双曲線)

中心が原点で, 頂点が $(a, 0)$, $(-a, 0)$ のとき, $$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$

$\mathrm{F}(c, 0)$ と $\mathrm{F}'(-c,0)$ であって,

$c^2 = a^2 + b^2$ である.

漸近線

$\displaystyle y = \frac{b}{a} x$, $\displaystyle y = -\frac{b}{a} x$

媒介変数表示は,

$\displaystyle \left(a \frac{1}{\cos \theta}, \ b \tan \theta \right)$ である.

計算

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ のとき, 縦方向に長い双曲線になる. 頂点間の距離 $2b$ であり, 焦点 $(0, c)$, $(0, -c)$ である. 漸近線は同様である.

$$c^2 = a^2 + b^2$$

豆知識

双曲線は、2次式で表される曲線のうち、双子になる曲線です。

双曲線の理解

双曲線の方程式

横に伸びる双曲線

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

  • 2点間の距離の差 $2a$
  • 定数 $a$ は,双曲線の頂点の $x$ 座標
  • 焦点の座標:$(\sqrt{a^2 + b^2}, 0), \ (-\sqrt{a^2 + b^2}, 0)$
  • 漸近線:$\displaystyle y=\frac{b}{a}x$,$\displaystyle y=-\frac{b}{a}x$

縦に伸びる双曲線

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$

  • 2点間の距離の差 $2b$
  • 定数 $b$ は,双曲線の頂点の $y$ 座標
  • 焦点の座標:$(0, \sqrt{a^2 + b^2}), \ (0, -\sqrt{a^2 + b^2})$
  • 漸近線:$\displaystyle y=\frac{b}{a}x$,$\displaystyle y=-\frac{b}{a}x$

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