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  • ①整理

「双曲線」とは

2次式で表される曲線のうち、双子になる曲線のこと。

定義

2点からの距離の差が一定の点の軌跡を双曲線という.

数式

距離の差を $2a$, 焦点を $\mathrm{F}$ と $\mathrm{F}'$, 動点を $\mathrm{P}$ とすると, $|\mathrm{PF} - \mathrm{PF'}| = 2a$ とかける.

A. 標準的な方程式(横方向に発散)

中心が原点で, 頂点が $(a, 0)$, $(-a, 0)$ のとき, $$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$

漸近線が存在し, $\displaystyle y = \frac{b}{a} x$ と $\displaystyle y = -\frac{b}{a} x$ である.

$\mathrm{F}(c, 0)$ と $\mathrm{F}'(-c,0)$ で,

$c^2 = a^2 + b^2$ が成り立つ.

B. 媒介変数表示

$(x,y)$ $\displaystyle =\left(a \frac{1}{\cos \theta}, \ b \tan \theta \right)$

ポイント解説

イメージ

反比例の式のグラフ $xy=c$ は, 双曲線です。

A

縦方向に発散する双曲線の方程式は $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ になります。

頂点間の距離は $2b$ であり, 焦点は $(0, c)$, $(0, -c)$ です。この場合でも, 漸近線は同じ式です。

B

$\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta} - \tan^2 \theta = 1$ で, Aの方程式と同等であることが分かります。

双曲線の整理

双曲線の方程式

横に伸びる双曲線

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

  • 2点間の距離の差 $2a$
  • 定数 $a$ は,双曲線の頂点の $x$ 座標
  • 焦点の座標:$(\sqrt{a^2 + b^2}, 0), \ (-\sqrt{a^2 + b^2}, 0)$
  • 漸近線:$\displaystyle y=\frac{b}{a}x$,$\displaystyle y=-\frac{b}{a}x$

縦に伸びる双曲線

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$

  • 2点間の距離の差 $2b$
  • 定数 $b$ は,双曲線の頂点の $y$ 座標
  • 焦点の座標:$(0, \sqrt{a^2 + b^2}), \ (0, -\sqrt{a^2 + b^2})$
  • 漸近線:$\displaystyle y=\frac{b}{a}x$,$\displaystyle y=-\frac{b}{a}x$

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