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今日の授業
式の展開をしよう！
$$(2x+3y)(x+y)$$
単元のまとめ
式の展開
目標
多項式の積を, 単項式の和で表す方法のこと.
分配法則
$a(x+y) = ax + ay$
基本
$(x+a)(x+b)=x^2 + (a+b)x + ab$
乗法公式
- $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$
- $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$
- $(x+a)(x-a) = x^2-a^2$
３次式の展開公式
- $(x + a)^3$$=x^3 + 3ax^2 + 3a^2x+ a^3$
- $(x + a)(x^2 - ax + a^2)$ $=x^3 + a^3$
二項定理
$\displaystyle (x+a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} a^k$
計算
分配法則は, 交換法則を仮定すると次の式としてもいえる.
$(a+b)x = ax+bx$
例：$(x+2)(x+3)$ $=x^2 +5x +6$
豆知識
展開は、長方形を切り分けることに対応する。
解説
分配法則を仮定する：
乗法公式は次の通り：
式の展開のイメージ
図形によるイメージ
$a(x+y) = ax+ay$ を折り紙で計算します。
$(x+a)(x+b)=x^2 + (a+b)x + ab$ を折り紙で計算します
$(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$ を折り紙で計算します
$(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$ を折り紙で計算します。
$(x+a)(x-a) = x^2-a^2$ を折り紙で計算します。
式の展開の公式の理解
問い
公式は覚えるものなの？
公式（式の展開）
- $a(x+y) = ax + ay$
- $(a+b)x = ax + bx$
- $(x+a)(x+b)=x^2 + (a+b)x + ab$
- $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$
- $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$
- $(x+a)(x-a) = x^2-a^2$
分配法則と交換法則の仮定
❶$a(x+y)$ の展開
数の計算において，次のような分配法則はいつでも成り立つ。
$8 \times (10 + 2) = 8 \times 10 + 8\times2$
文字式の計算でも「分配法則」が必ず成り立つものと要請します。$$a(x+y) = ax + ay$$
❷$(a+b)x$ の展開
分配法則 $a(x+y) = ax + ay$ と交換法則 $ax = xa$ を仮定する。
左辺から右辺を導く：
$(a+b)x$
$= x(a+b)$
$= xa + xb$
$= ax + bx$
よって，次が成立する：
$$(a+b)x = ax + bx$$
❸$(x+a)(x+b)$ の展開
$a(x+y) = ax + ay$ と $(a+b)x = ax + bx$ を利用して，左辺から右辺を導く：
$(x+a)(x+b)$
$=(x+a)x + (x+a)b$
$= x^2 + ax + xb + ab$
$= x^2 + ax + bx + ab$
$= x^2 + (a+b)x + ab$
よって，次が成立する：
$$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$$
式変形による理解
❹$(x+a)^2$ の展開
❸の式を利用して，左辺から右辺を導く：
$(x + a)^2$
$= (x + a)(x + a)$
$= x^2 + (a+a)x + a\cdot a$
$= x^2 + 2ax + a^2$
よって，次が成立する：
$$(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$$
❺$(x-a)^2$ の展開
❹の式を利用して，左辺から右辺を導く：
$(x - a)^2$
$= (x + (-a))^2$
$= x^2 + 2 \times (-a)x + (-a)^2$
$= x^2 - 2ax + a^2$
よって，次が成立する：
$$(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$$
❻$(x+a)(x-a)$ の展開
❸の式を利用して，左辺から右辺を導く：
$(x+a)(x-a)$
$= (x+a)(x+(-a))$
$= x^2 + (a + (-a))x + a \cdot (-a)$
$= x^2 + 0x -a^2$
$= x^2 -a^2$
よって，次が成立する：
$$(x+a)(x-a) = x^2 - a^2$$
式の展開のPythonコード
具体的な計算
$(2x + 3y)(x+y)$ の展開をします。
import sympy
#xとyを文字として定義する
x = sympy.Symbol('x')
y = sympy.Symbol('y')
#多項式Pを定義して表示する
P = (2*x + 3*y)*(x+y)
print(P)
#Pの展開式をQとして表示する
Q = sympy.expand(P)
print(Q)
#PとQをLaTeX表示する
display(P)
display(Q)
