式の展開

  • 式の展開(乗法公式)とは、多項式の積を、単項式の和で表す方法です。
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分配法則. 

  • $a(x+y) = ax + ay$
  • $(a+b)x = ax + bx$

乗法公式. 

  • $(x+a)(x+b)=x^2 + (a+b)x + ab$
  • $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$
  • $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$
  • $(x+a)(x-a) = x^2-a^2$

数学のポイント

式の展開の公式の理解

分配法則と交換法則の仮定

$a(x+y) = ax + ay$ の展開

Laws

説明

数の計算において,次の分配法則はいつでも成り立つ。

$8 \times (10 + 2) = 8 \times 10 + 8\times2$

文字式の計算においても「分配法則」である

$a(x+y) = ax + ay$

という関係が必ず成り立つものと要請します。

$(a+b)x = ax + bx$ の展開

Laws

スタート(仮定)
  • 分配法則:$a(x+y) = ax + ay$
  • 交換法則:$ax = xa$
計算(左辺→右辺)

$(a+b)x$
$= x(a+b)$
$= xa + xb$
$= ax + bx$

ゴール(結論)

$(a+b)x = ax + bx$

$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ の展開

Property

スタート(仮定)
  • $a(x+y) = ax + ay$
  • $(a+b)x = ax + bx$
左辺から右辺を導く

$(x+a)(x+b)$
$=(x+a)x + (x+a)b$
$= x^2 + ax + xb + ab$
$= x^2 + ax + bx + ab$
$= x^2 + (a+b)x + ab$

ゴール(結論)

$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$

式変形による理解

$(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$ の展開

Property

スタート(仮定)

$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$

左辺から右辺を導く

$(x + a)^2$
$= (x + a)(x + a)$
$= x^2 + (a+a)x + a\cdot a$
$= x^2 + 2ax + a^2$

ゴール(結論)

$(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$

$(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$ の展開

Property

スタート(仮定)

$(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$

左辺から右辺を導く

$(x - a)^2$
$= (x + (-a))^2$
$= x^2 + 2 \times (-a)x + (-a)^2$
$= x^2 - 2ax + a^2$

ゴール(結論)

$(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$

$(x+a)(x-a) = x^2 - a^2$

Property

スタート(仮定)

$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$

左辺から右辺を導く

$(x+a)(x-a)$
$= (x+a)(x+(-a))$
$= x^2 + (a + (-a))x + a \cdot (-a)$
$= x^2 + 0x -a^2$
$= x^2 -a^2$

ゴール(結論)

$(x+a)(x-a) = x^2 - a^2$

展開さん

式の展開のルールを理解できたね!

式の展開のPythonコード

具体的な計算

$(2x + 3y)(x+y)$ の展開をします。

import sympy

#xとyを文字として定義する
x = sympy.Symbol('x')
y = sympy.Symbol('y')

#多項式Pを定義して表示する
P = (2*x + 3*y)*(x+y)
print(P)

#Pの展開式をQとして表示する
Q = sympy.expand(P)
print(Q)

#PとQをLaTeX表示する
display(P)
display(Q)

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