放物線について

観察.

※撮影：2024年8月6日

証明.

任意の2次関数は平行移動することで $y =ax^2(a\neq 0)$ とすることができる.

点 $\displaystyle \mathrm{F} \left(0, \frac{1}{4a} \right)$ が焦点, 直線 $\displaystyle \ell : y=-\frac{1}{4a}$ が準線として存在し, 放物線の定義を満たすことを以下確かめる.

座標平面上で2次関数のグラフ $y = ax^2$ 上の任意の点 $\mathrm{P}$ を $(t, at^2)$ とおく.

線分 $\mathrm{PF}$ と $\mathrm{PH}$ の長さを座標で表すと

$\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{PF} &= \sqrt{t^2 + \left(at^2 - \frac{1}{4a} \right)^2} \\
\mathrm{PH} &= \left| at^2 - \left( -\frac{1}{4a} \right) \right|
\end{aligned}$

となる. 線分 $\mathrm{PF}$ の長さの式を計算すると,

$$\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{PF} &= \sqrt{t^2 + \left(at^2 - \frac{1}{4a} \right)^2} \\
&= \sqrt{t^2 + \left(a^2t^4 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{16a^2} \right)} \\
&= \sqrt{a^2t^4 + \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{16a^2} } \\
&= \sqrt{\left(at^2 + \frac{1}{4a} \right)^2} \\
&= \left| at^2 + \frac{1}{4a} \right|
\end{aligned}$$

となり, 線分 $\mathrm{PF}$ の長さと一致することが確かめられた。

$\displaystyle \mathrm{PF} = \mathrm{PH}$ より, 2次関数 $y=ax^2$ のグラフは放物線の定義を満たすことが言えた.

ゆえに, 任意の2次関数のグラフも放物線の定義を満たすことが言える.

Pythonコード.

import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

# 放物運動をシミュレートする関数
def 放物運動(v, theta, g):
    theta_rad = math.radians(theta)
    vx = v * math.cos(theta_rad)
    vy = v * math.sin(theta_rad)
    t_flight = (2 * vy) / g
    dt = 0.01
    t = np.arange(0, t_flight, dt)
    x = vx * t
    y = vy * t - 0.5 * g * t ** 2
    return x, y

# 入力パラメータ
v0 = 20  # 初速度（m/s）
角度 = 45  # 射角（度）
g = 9.81  # 重力加速度（m/s^2）

# 放物運動をシミュレート
x, y = 放物運動(v0, 角度, g)

# グラフと軸を作成
fig, ax = plt.subplots()
ax.set_xlim(0, max(x) + 5)
ax.set_ylim(0, max(y) + 5)
line, = ax.plot([], [], lw=2)

# アニメーション関数
def アニメーション(i):
    line.set_data(x[:i], y[:i])
    return line,

# アニメーションを作成
ani = animation.FuncAnimation(fig, アニメーション, frames=len(x), interval=10, blit=True)

# アニメーションをHTML5ビデオとして保存して表示
HTML(ani.to_html5_video())

※ChatGPTで作成しました。