- 目次
- 理解
- 事例
- コード
- まとめ
【理解】実数とは
有理数について
有理数 $\mathbb{Q}$ の定義
定義（有理数）
整数 $m$ と $n \neq 0$ について, $\displaystyle \frac{m}{n}$ と表すことができる数を有理数という.
定義
有理数全体の集合を $\mathbb{Q}$ と表す.
整数はすべて有理数です。
$\frac{3}{2}$ や $-\frac{4}{5}$ は有理数です。
有理数（既約分数表示; 分母の素因数が $2$ と $5$ のみ） $\Rightarrow$ 有限小数
既約分数の分母の素因数が $2$ と $5$ のみであれば, 有限小数であることを証明してみよう。
命題
有理数 $r>0$ の既約分数表示 $\displaystyle \frac{p}{q}$ の分母 $q$ の素因数が $2$ と $5$ のみであれば $r$ が有限小数である.
証明.
$\displaystyle r=\frac{p}{q}$ について, $p, q>0$ とする. 仮定から $a, b \geq 0$ を使い, $q = 2^a \cdot 5^b$ とできる.
ここで, $n:=\max\{a,b\} \geq 0$ とすると,
$q=10^n \cdot 2^{a-n} \cdot 5^{b-n}$
とできる. このとき,
$\displaystyle r=\frac{p}{q}$ $\displaystyle =\frac{p}{10^n \cdot 2^{a-n} \cdot 5^{b-n}}$ $\displaystyle =\frac{p \cdot 2^{n-a} \cdot 5^{n-b}}{10^n}$
である. $n-a, n-b \geq 0$ であるから, $2^{n-a}$ と $5^{n-b}$ は自然数である. したがって, 分子 $p \cdot 2^{n-a} \cdot 5^{n-b}$ は自然数である.
自然数を $10^n$ で割った結果の小数は 小数点以下 $n$ 桁で限られる有限小数である.
ゆえに, $\displaystyle r=\frac{p}{q}$ の $q$ の素因数が $2$ と $5$ のみであれば, $r$ は有限小数である.
たとえば,
$\frac{7}{2}=3.5$,
$\frac{4}{5}=0.8$,
$\frac{9}{20}= 0.45$,
で結果はすべて有限小数です。
有理数（既約分数表示; 分母の素因数に $2$ と $5$ 以外の素数が存在） $\Rightarrow$ 循環する無限小数
既約分数の分母の素因数が $2$ と $5$ 以外を持てば, 循環する無限小数であることを示してみよう。
命題
有理数 $r>0$ の既約分数表示 $\displaystyle \frac{p}{q}$ の分母 $q$ の素因数に $2$ と $5$ 以外の数があれば, $r$ は循環する無限小数である.
証明.
$\displaystyle r=\frac{p}{q}$ について, $p, q>0$ とする. 仮定から自然数 $a, b \geq 0$, $g>0$ を使い, $q = g \cdot 2^a \cdot 5^b$ とできる. ただし, $g$ は $2$ と $5$ を素因数として持たず, $p$ と $g$ は互いに素である.
ここで, $n:=\max\{a,b\} \geq 0$ とすると,
$q=g \cdot 10^n \cdot 2^{a-n} \cdot 5^{b-n}$
とできる. このとき,
$\displaystyle r=\frac{p}{q}$ $\displaystyle =\frac{p}{g\cdot 10^n \cdot 2^{a-n} \cdot 5^{b-n}}$ $\displaystyle =\frac{p \cdot 2^{n-a} \cdot 5^{n-b}}{g\cdot 10^n}$
である. $n-a, n-b \geq 0$ であるから, $2^{n-a}$ と $5^{n-b}$ は自然数である. したがって, 分子 $p \cdot 2^{n-a} \cdot 5^{n-b}$ は自然数である.
ここで,
$\displaystyle A=\frac{p \cdot 2^{n-a} \cdot 5^{n-b}}{g}$
と置く.
$p \cdot 2^{n-a} \cdot 5^{n-b}$ と $g$ は共通因数を持たないので, $p \cdot 2^{n-a} \cdot 5^{n-b}$ は $g$ で割り切ることができない. この余りに $10$ を掛けたものについても $g$ では割り切れない. (共通因数を持たないため.) したがって, 同じ作業を続けると, $A$ は無限小数であると分かる.
余りとして生じる数は $1$ から $g-1$ までの数であり, 同じ余りが現れるときが必ずあるため, そのタイミングで余りが循環することとなる. よって, $A$ は循環する無限小数であることが分かった.
最後に,
$\displaystyle r=\frac{p \cdot 2^{n-a} \cdot 5^{n-b}}{g \cdot 10^n}$ $\displaystyle =\frac{A}{10^n}$
については, $10^n$ で割ったものは, 小数点の位置が $n$ 個ずれるだけであるので, $A$ が循環する無限小数であれば $\displaystyle \frac{A}{10^n}$ も循環する無限小数のままである.
ゆえに, $\displaystyle r=\frac{p}{q}$ の $q$ の素因数に $2$ と $5$ 以外があれば, $r$ は循環する無限小数であることが分かる.
たとえば,
$\frac{7}{3}=2.\dot{3}$,
$\frac{4}{7}$ $=0.\dot{5}7142\dot{8}$,
で結果は循環する無限小数です。
有理数は加減乗除について閉じている
有理数同士の四則演算の結果はすべて有理数であることを証明してみよう。
命題
有理数は四則演算に関して閉じている.
証明.
$a$ と $b$ を有理数とする. このとき, ある整数 $m$ と $n$, $p$ と $q$ が存在し,
$\displaystyle a = \frac{m}{n}$, $\displaystyle b = \frac{p}{q}$
とできる. ただし, $n \neq 0$ かつ $q \neq 0$ とする.
有理数同士の和と差については,
$a\pm b$ $\displaystyle =\frac{m}{n} \pm \frac{p}{q}$ $\displaystyle = \frac{mq \pm np}{nq}$
となる. 分母と分子の数はそれぞれ整数である. なぜならば, 分母と分子はそれぞれ整数同士の加減乗で計算されているからである.
したがって, $a \pm b$ は有理数である.
有理数同士の積については,
$a\cdot b$ $\displaystyle =\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q}$ $\displaystyle = \frac{mp}{nq}$
となる. 分母と分子の数はそれぞれ整数である. なぜならば, 分母と分子はそれぞれ整数同士の積で計算されているからである.
したがって, $a \cdot b$ は有理数である.
有理数同士の商については, $b \neq 0$ のとき,
$a \div b$ $\displaystyle =\frac{m}{n} \div \frac{p}{q}$ $\displaystyle = \frac{mq}{np}$
となる. このときも分母と分子は整数である.
したがって, $a \div b$ は有理数である.
ゆえに, 有理数は四則演算に関して閉じていることが示された.
たとえば,
$\frac{4}{3} + \frac{2}{5} = \frac{26}{15}$,
$\frac{4}{3} - \frac{2}{5} = \frac{14}{15}$,
$\frac{4}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{15}$,
$\frac{4}{3} \div \frac{2}{5} = \frac{10}{3}$,
で結果はすべて有理数です。
無理数について
無理数 $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ の定義
定義（無理数）
実数のうち, 有理数ではない数のことを無理数という.
定義
無理数全体の集合を $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ と表す.
$\sqrt{2}$ や $\pi$ は無理数です。
無理数 $\Rightarrow$ 無限小数である
任意の実数について, 「有限小数または循環する無限小数」$\Leftrightarrow$ 「有理数」であることが成り立つ.
この対偶を取れば, 「無理数」$\Leftrightarrow$「循環しない無限小数」が成り立つ.
無理数は加減乗除について閉じていない
例えば, 加法については
$\sqrt{2} +(- \sqrt{2})=0$
であるから閉じていない. また, 乗法については,
$\sqrt{2} \times \sqrt{2}=2$
であるから閉じていない. ちなみに, 無理数の無理数ベキについても
$\sqrt{2}^{\log_29}=3$
と有理数になる例がある.
小数について
有限小数 $\Rightarrow$ 有理数
具体例 $2.153$ で確認する。
有理数とは, (整数)/(整数)と表される数だった。
$$2.153 = \frac{2153}{1000}$$
$2153$ も $1000$ も整数である。
したがって, $2.153$ は有理数である。
循環する無限小数 $\Rightarrow$ 有理数
具体例 $2.\dot{1}5\dot{3} = 2153153\cdots$ で確認する。
$x = 2.\dot{1}5\dot{3}$ と置く。
両辺を$1000$倍した $1000x = 2153.\dot{1}5\dot{3}$ という数も考える。
$$\begin{array}{rrrrl}
&1000x & = & 2153.& 153\cdots\\
- \large{)}& x & = & 2.&153\cdots\\
\hline
& 999x & = & 2151 &
\end{array}$$
$$\displaystyle x =\frac{2151}{999} = \frac{239}{111}$$
ゆえに，次が言える：
$$\displaystyle 2.\dot{1}5\dot{3} = \frac{239}{111}$$
有理数とは，(整数)/(整数)と表される数だった。
したがって，$2.\dot{1}5\dot{3}$ は有理数である。
循環しない無限小数 $\Rightarrow$ 無理数
任意の実数について, 「有理数」 $\Leftrightarrow$ 「有限小数または循環する無限小数」であることが成り立つ.
この対偶を取れば, 「循環しない無限小数」 $\Leftrightarrow$ 「無理数」が成り立つ.
実数について
数の集合の包含関係 $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$, $\bar{\mathbb{Q}} = \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$,
$\bar{\mathbb{Q}}=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$: 無理数.
Column. 実数の役割
実数という言葉が高校の教科書には、よく出てくるにも関わらず、よく分からんと思われているかもしれません。よく分からない理由は、実感がないからだと思います。
この記事では「実数は目に見える数」という話題に話を絞って、書いていきます。
そのために、実数がモノの長さを測るために必要な数字であることを理解して貰えるように頑張っているブログです。
実数の概念は、高校数学の教科書の最初に説明がありますが、あまり正確に伝えられていないという印象です。
実数とは自然数とは違う数
今回は、実数の定義や、抽象的な構成法は省いて、実数が目に見える数であることを共有することを目標とします。
なぜ実数は目に見えるのか
「なぜ実数は目に見えるか？」
がテーマです。この質問は、むしろ逆で、
「目に見える数」のことを実数と呼ぶことにした
が正しい回答となります。
ところで、次の問いを抱いてはいないでしょうか？
抱いた方は安心してください。当たり前の反応です。
ずっとクエスチョンマークが付いていると思いますが、
そもそも「目に見える数」とは何でしょうか？
目に見える数は（最も単純に言えば）2種類あります。
- モノの個数を数えるときに使う数： $1, \ 2, \ 3, \cdots$
- モノの長さを正確に測るときに必要な数 ←実数と呼ぶ。
この2種類の数の説明と、この2種類がなぜ目に見えると言えるのかを解説していきます。
自然数が目に見えるわけ
目に見える数には、モノの個数を数えるときに使う数とモノの長さを正確に測るときに必要な数があると言いました。
ひとつ目の数字のことを、自然数と呼びます。詳しい説明を省きますが、
自然数 = モノの個数を数えるときに使う数
と認識しておいてください。確かに、（最も単純で）自然な数ですね。英語では、Natural Number と言います。
ここで大切なことが、あなたには自然数が目に見えますか？という問いです。
以下、「例えば」の部分が、少し難しい説明となるので、難しければ、何となくの理解でも大丈夫です！
モノの個数を数えるときには、目で見て数えますので、この自然数は「目に見える数」と言えます。
例えば、箱が2つあれば、目で見て「ひとつ、ふたつ」と数えることができ、「 $2$ 」という数を得る（認識する）ことができます。（ $1$や$2$という数字は目に見えますが、これは「数字」を見ているだけで、ここで伝えている「目に見える」とは少しニュアンスが異なります。）
実数が目に見えるわけ
実数の解説をしていきます。
実数とは（実数の定義）
モノの長さをメジャーやモノサシで測ることを考えてみます。この長さを表すために必要になる数のことを実数と呼ぶことにします。
英語では、Real Numberと言います。「実際の数」を縮めて実数としたのでしょうか？「現実にある数字」と言った方が分かりやすいでしょうか？
長さは目に見える（実数が目にみえる見方）
「実数が目に見える数か？」という問いを考えてみます。先ほどよりも、この答えは分かりやすいと思います。
実数はメジャーの長さのことで、長さは目で見て測りますので「実数は目に見える数」と言えます。このときのメジャーにメモリを付けたものが、実数を表す数字ということになります。
実数は自然数よりも多くの数を持つ（実数と自然数の関係）
ここで気にして欲しいことは、実数（モノの長さを測るとき）は、自然数だけでは足りない、ということです。たしかに、そうですよね。
単位をセンチメートル（cm）としますが、モノの長さは、1cmや2cm（自然数の長さ）だけではなく、1.5cmや、2.3cmなど半端な長さもありますね。モノの長さには、自然数分（自然数メモリ）の長さ、小数分（小数メモリ）の長さが必要となります。
実数は、自然数よりもたくさんの数を含んでいます。
実数のうちわけ（実数の数字の見通し、小数の分類）
ここで、昔の人（ピタゴラス）が考えた道筋を辿りましょう。
次の考えに、あなたは同感しますか？
ピタゴラスは、小数という数（モノサシの小数のメモリ）は、全て分数で表すことができると思っていました。
$1.5 = \frac{3}{2}$, $2.3 = \frac{23}{10}$ ですので、当たり前に感じますね。
この考えに、あなたも同感しますか？
あなたもご存知の通り、三平方の定理（ピタゴラスの定理, 勾股弦の定理）を考えると、ルートで表さないといけない数字が登場してしまうことが分かっています。ピタゴラス自身（？）が確かめたことですが、このルートで表される数字は、分数で表現できないことが判明してしまいました。
（ちなみに、そもそも分数（正の有理数）とは、自然数/自然数のことを言いますので、例えば、$\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{1}$という数字は、分数の形をしているけれども本当の分数ではないと解釈してください。）
つまり、モノの長さを表すために必要な数字は、自然数と分数だけではなく、ルートを含む数字も必要になることが判明しました。実は、ルートで表現できない小数も存在すること分かっています（超越数という）。奥深いですね。
実数とは（実数の見方と考え方のまとめ）
ここまで述べたことをまとめます。
- モノの長さを測るために必要な数字を実数と呼ぶことにした。
- モノの長さは、目で見えるので、実数は目に見える数字と言える。
- 実数は自然数よりも大きな数の集まりであると言える。
- 実数は、自然数と分数とルート（累乗根）と超越数などの数の集まりである。
正確に述べていませんでしたが、小数があれば、どんな長さも表すことができます。つまり、全ての小数が実数であると思って大丈夫です。
実数 = モノの長さを測って表すために必要な数 = 小数
と頭の中で整理しておいてください。最も大切なことは、実数は目に見えるという認識を持つことです。
実数は目に見えるか【まとめ】
この記事は「なぜ実数が目に見えるか？」という問いから始まって、モノの長さを測るときに利用する数を実数と決めたから、目に見える数であると結論づけました。
今回の考え方は、大学数学のデデキントの切断という考え方で正確に理解できます。
ここまで、お読みいただき、いつもありがとうございます。
この記事は、「目に見える数」である実数とは対照的な「目に見えない数」と思われている虚数（複素数）を実感してもらう連載記事の最初の一歩です。
このブログの続きは、次のサイトです。
虚数（複素数）の存在の立場を詳しく解説しました！
複素数を習うと、まず初めに、虚数単位 $i$ を習います。この $i$ の存在を認識するためには、数学の立場を知っておかなければなりません。しかし、この数学の立場を授業…
ますレッスン教室 
有理数と無理数の教え方（構想中）
有理数を「整数分の整数」とか「有限小数or循環小数」とか、ではなく、「何倍かしたら整数になるもの」もしくは「何個か合わせたら整数になるもの」と捉えれば「見える化」できるかもしれない。割り算とか、小数とかの概念ではなく、掛け算とか足し算の概念で理解した方が楽だと思う。【例：有理数】数直線上で有理数とは、基準の長さを当分に分けたときにできる長さ全てである。→数倍すれば整数になる。【例：無理数】$\sqrt{2}$ は何個集めても整数に成らない数のこと。
無理数について（所感）
よく、「ピタゴラスが無理数の存在を認めなかった」という主張があるけど、本当かなーって疑問を抱いた。「こんな綺麗な数だけで、任意の長さを表せられる」と思う方が不自然な気がする。もしかすると、無理数の存在を認めないという感覚的な問題ではなくて、記法的にも数学の証明的にも論理的に認めるための手段が無かったという気持ちなんじゃないかなーって感じる。昔の人の気持ちはどうなんだろーな。今を基準にして昔を図るのは良くないけど、どうなんでしょうね。
【事例】実数の具体例
有名な無理数の値について
| 種類 | 記号 | 近似値 |
|---|---|---|
| 常用対数 | $\log_{10}2$ | 0.301029995663981 |
| 円周率の逆数 | $1 / \pi$ | 0.318309886183791 |
| 常用対数系 | $\log_{10}3$ | 0.477121254719667 |
| オイラー–マスケローニ定数(?) | $\gamma$ | 0.577215664901532 |
| 自然対数 | $\ln2$ | 0.693147180559945 |
| 常用対数 | $\log_{10}5$ | 0.698970004336019 |
| 平方根 | $\sqrt{2}$ | 1.414213562373095 |
| 黄金比 | $\phi$ | 1.618033988749895 |
| 平方根 | $\sqrt{3}$ | 1.732050807568877 |
| 自然対数 | $\sqrt{e}$ | 1.648721270700128 |
| リーマンゼータ関数 | $\zeta(3)$ | 1.202056903159594 |
| カタラン定数(?) | $G$ | 0.915965594177219 |
| 平方根 | $\sqrt{5}$ | 2.236067977499790 |
| ネイピア数 | $e$ | 2.718281828459045 |
| 平方根 | $\sqrt{6}$ | 2.449489742783178 |
| 平方根冪 | $2^{\sqrt{2}}$ | 2.665144142690225 |
| 平方根 | $\sqrt{7}$ | 2.645751311064590 |
| 平方根系無理数 | $\sqrt{10}$ | 3.162277660168380 |
| 円周率 | $\pi$ | 3.141592653589793 |
| フィボナッチ逆数和(?) | $\sum 1/F_n$ | 3.359885666243177 |
【コード】Pythonで実数の値の取得
円周率 $\pi$ の値math.pi numpy.pi
円周率の値をPythonで計算してみよう。
円周率の取得
mathモジュールのpiで円周率 $\pi$ の値を取得することができる。
numpyモジュールのpiでも円周率 $\pi$ の値を取得することができる。
Python. $\pi$ の値を取得して表示する。
import math
import numpy as np
print(math.pi)
print(np.pi)$3.141592653589793$
$3.141592653589793$
と表示された。
平方根 $\sqrt{x}$ の値math.sqrt(x) numpy.sqrt(x)
平方根の値をPythonで計算してみよう。
平方根の値の取得
mathモジュールのsqrt(x)で平方根 $\sqrt{x}$ の値を取得することができる。
numpyモジュールのsqrt(x)でも平方根 $\sqrt{x}$ の値を取得することができる。
Python. $\sqrt{2}$ の値を取得して表示する。
import math
import numpy as np
print(math.sqrt(2))
print(np.sqrt(2))$1.4142135623730951$
$1.4142135623730951$
と表示された。
対数 $\log_ax$ の値math.log(x, a) numpy.log(x)/numpy.log(a)
対数 $\log_a x$ の値をPythonで計算してみよう。
対数の値の取得①
mathモジュールのlog(x,a)で対数 $\log_ax$ の値を取得することができる。log(x)とすると底が自然対数である $\log_ex$ の値が取得できる。
対数の値の取得②
numpyモジュールのlog(x)で底が自然対数である $\log_ex$ の値が取得できる。log2(x)とlog10(x)で対数 $\log_2x$ と $\log_{10}x$ の値を取得することができる。
任意の底の対数の値 $\log_ax$ を取得する場合, numpy.log(x)/numpy.log(a)で取得する。
Python. $\log_{10}{2}$ と $\log_e2$, $\log_35$ の値を取得して表示する。
import math
import numpy as np
#mathモジュール
print(math.log(2,10))
print(math.log(2))
print(math.log(5, 3))
#numpyモジュール
print(np.log10(2))
print(np.log(2))
print(np.log(5)/np.log(3))$0.30102999566398114$
$0.6931471805599453$
$1.4649735207179269$
$0.3010299956639812$
$0.6931471805599453$
$1.4649735207179269$
と表示された。
ネイピア数 $e$ の値math.e numpy.e
ネイピア数 $e$（自然対数の底） の値をPythonで計算してみよう。
ネイピア数の値の取得
mathモジュールのeでネイピア数の値を取得することができる。
numpyモジュールのeでもネイピア数の値を取得することができる。
Python. ネイピア数 $e$ の値を取得して表示する。
import math
import numpy as np
print(math.e)
print(np.e)$2.718281828459045$
$2.718281828459045$
と表示された。
数直線の表示と点のプロット
数直線に実数を点としてプロットして表示することをPythonで計算してみよう。
数直線の表示
プロットする数のリストを[]で作成する。
リストの数をmatplotlibモジュールでグラフとして表示する。
Python. 数直線を表示して, 任意の実数を点としてプロットする。
import matplotlib.pyplot as plt
import math
# 数のリスト
numbers = [0, 1, math.pi, math.sqrt(2), math.log(2), math.log(2,10), math.e]
# 数直線の両端の設定
x_min = min(numbers) - 0.5
x_max = max(numbers) + 0.5
plt.figure(figsize=(10, 2))
# 数直線の右側の矢印の表示
plt.annotate(
'', xy=(x_max, 0), xytext=(x_min, 0),
arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='black', linewidth=2)
)
# 点（数）のプロット
for i, num in enumerate(numbers):
plt.plot(num, 0, 'o', color='black', markersize=10)
y_offset = 0.2 if i % 2 == 0 else 0.35 # 上下に交互にラベル表示
plt.text(num, y_offset, f"{num:.2f}", ha='center')
plt.xticks([])
plt.yticks([])
plt.xlim(x_min - 0.5, x_max + 1)
plt.ylim(-0.5, 0.6)
plt.box(False)
plt.show()
【まとめ】ポイントノート
「実数」とは
モノの長さを表すために必要な数のこと。
数直線
基準点から, 直線上の各点までの長さは実数と1:1に対応する.
構成法
デデキント切断や有理数の完備化の方法が存在する.
A. 実数 $\mathbb{R}$ の性質
- 順序がある（全順序性）
- 隙間がない（稠密・完備性）［幾何的性質］
- 加減乗除ができる（体）［代数的性質］
- 濃度は $\aleph_1$（アレフ・ワン）である
B. 有理数 $\mathbb{Q}$
- 整数の比で表せる数
- 有限小数, 循環する無限小数
C. 無理数 $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$
- 整数の比で表せない数
- 循環しない無限小数
D. 実数に関連する記号
- 整数部分：ガウス記号$[x]$ & 床関数 $\lfloor x \rfloor$, 小数部分：$x- \lfloor x \rfloor$
- 大きさ：絶対値 $|x|$, 符号：符号関数 $\mathrm{sgn}(x)$
ポイント解説
B
有理数は整数 $\mathbb{Z}$ を含む。
C
$\sqrt{2}$, $\tan 1^{\circ}$, $\log 2$, $\pi$, $e$, 黄金数 $\phi$ が有名である。
B・C(2)
逆も成立する;
【有限小数】
例えば,
$0.25$
は $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ で有理数である。
※既約分数表示すると, 分母の素因数は $2$ と $5$ のみ
【循環する無限小数】例えば,
$x=0.\dot{2}\dot{5}$
は $100x-x$ $=25.\dot{2}\dot{5}-0.\dot{2}\dot{5}$ であり $x = \frac{25}{99}$ で有理数である。
【循環しない無限小数】例えば,
$\sqrt{2} = 1.41\cdots$
を有理数と仮定すると矛盾が生じるので, $\sqrt{2}$ は無理数である。
発展
無理数は代数的数と超越数に分類できる。例えば $\pi + e$ は超越的か代数的かは未解決。
