あなたは、数学の3大難問と呼ばれた古代の作図問題をご存知でしょうか？
このブログでは、この3大作図難問の紹介を行いたいと思います。
この記事の良いところは、高校生に紹介するための言葉遣い（難解な数学用語は利用していない）、それぞれのトピックが適切な分量であるところです。あなたが、高校生に3大難問を説明するとき、プリントの端にコラムとして記載するときに、ちょうどよい文章で説明してます！
授業で引用してください！
作図問題とは（数学の図形の3大難問）
作図問題とは、「定規」と「コンパス」のみを用いて、与えられた問題が解けるのかを考えるものです。「定規」とは、メモリを測ることのできる「ものさし」とは違い、真っ直ぐな直線だけを引くことのできる器具を言います。
2300年以上前の古代ギリシャには、図形に関する3大数学難問がありました。
角の3等分とは（数学の図形の3大難問）
角の3等分問題とは、ギリシャの3大数学難問の一つで、『どんな角で
も3等分線を作図できるか』という問題です。
あなたは、できそうだと思いますか？
「どんな角でも」という部分がポイントです。例えば、90度の三等分線はすぐに作図できます。また、「定規とコンパス以外の道具」を用いたり、「折ること」を許せば、どんな角の三等分も構成できます。問題は、「どんな角でも」であっても、「定規とコンパスのみ」で作図できるか、です。
答えは、不可能なのです。これが証明されたのは、なんと 1837年のフランスのピエール・ヴァンチェルによるものです。今から、200年前位まで時間が経過しました。数学IIを習うと、一応証明を理解することができます。
円積問題とは（数学の図形の3大難問）
古代ギリシャの3大難問の2つ目はです。
前回は「どんな角でも作図によって三等分できるか」という古代ギリシャの問題を紹介しました。結論は、三等分が不可能な角度があるというものでした。今回は、同じく難問だった問題を紹介します。
円積問題とは、『円があったときに、同じ面積の正方形を作図で描けるか』という問題です。
どうすればできるでしょうか？
つまり、半径 $r$ の円の面積（円積）は、$\pi r^2$ ですので、面積が $\pi r^2$ の正方形が「コンパスと定規だけ」で描けるかという問題と言えます。これは、前回の三等分問題と同様に2300年以上前の古代ギリシャに存在した3大数学難問の一つです。
解決した人は、ドイツのフェルディナント・フォン・リンデマンです。1882年に提出した論文で、こんな正方形は作図では描けない、無理であることを証明しました。この問題も解決（不可能だという答え）されるまで、2000 年以上経過しました。
証明の仕方は、面積の式 $\pi r^2$ の中の円周率 $\pi$ に着目するこ とにありました。これを伝えることは難しいですが 、$\pi$ が「超越数」という性質を持つことの証明が為されたことにあります。超越数とは、方程式の解として得られない数という意味です。この証明を、きちんと理解するためには、大学の数学が必要です。
立方体の倍積問題とは（数学の図形の3大難問）
作図問題とは定規とコンパスのみを用いて、与えられた問題が解けるかを考えるものでした。前回までに「角の3等分問題」と「円積問題」を紹介しました。最後の「立方体倍積問題」を紹介します。
立方体倍積問題とは、ギリシャの「デロス島の問題」からできた問題です。デロス島の神様が「立方体の形をした祭壇の大きさ（体積）を2倍にせよ」と告げました。このような立方体を作図で作ることができるか、という問題が議論され続けました。
できそうではありますが、この問題も他の問題と同様に2000年近く未解決問題として残っていました。
解決した人は、フランスのヴァンチェルです。こういう作図はできないと証明しました。以下、数式で説明を書きます。元の立方体の一辺の長さを $a$ とすると、体積 は $a^3$ です。この2倍は $2a^3$ です。この体積を持つ立方体の体積は $\sqrt[3]{2} a$ という長さです。ここで見たことのない数字が出てきましたが, この $\sqrt[3]{2}$（2の3乗根）が作図では書けないことをヴァンチェルは示しました。
ところで、このヴァンチェルさん、どこかで見覚えありませんか？
とても凄い数学者ですネ。
数学の図形の3大難問（まとめ）
いかがでしたでしょうか？
この記事では、ギリシャの古典的な3大作図問題を紹介しました。難しい表現を用いずに、高校生が分かる表現を利用しました。ので、生徒に伝えて、数学の過去を伝えてあげて頂けますと嬉しいです！
ここまで、お読みいただきありがとうございます！
