トーラスの媒介変数表示の式を観察！（数式を解説）

最大のロンジチュードループの半径が $R+r$, 最小の半径が $R-r$ で、メリディアンループの半径が $r$ のトーラスの媒介変数表示の式を観察します。

トーラスの媒介変数表示の式を観察！

トーラス内のループについて

ドーナツをイメージしてください。

水平方向に回転する円周 ${\mathbf{S}}^1$ は、ロンジチュードループ（緯線）、垂直方向に回転する円周 ${\mathbf{S}}^1$ は、メリディアンループ（経線）と呼ばれます。

トーラスの媒介変数表示について

$R>r>0$, $0\le \theta ,\phi <2\pi$ のとき、次式はトーラスを表します：

$$\{\begin{array}{rll}x& =& (R+r\cos \theta )\cos \phi \\ y& =& (R+r\cos \theta )\sin \phi \\ z& =& r\sin \theta \end{array}$$

ちなみに, 次の式はトーラスの方程式です：

$$(\sqrt{x^2+y^2}-R{)}^2+z^2=r^2$$

媒介変数表示の観察！

媒介変数表示の数式で $\theta$ や $\phi$ を固定したときにどんなループが現れるのかをベースにトーラスの数式を観察しましょう。

ロンジチュードループの観察

変数 $\theta$ を固定して、トーラスを観察しましょう。

媒介変数表示の式から、次の２式が成立します：

$$\{\begin{array}{cll}{x}^2+y^2& =& (R+r\cos \theta {)}^2\\ z& =& r\sin \theta \end{array}$$

これは $z$ 軸上の点を中心とする水平方向に広がる円周（ロンジチュード）を表します。

$\theta$	$0$	$\pi /2$	$\pi$	$3\pi /2$	$2\pi$
$z$	$0$	$R$	$R-r$	$R$	$R+r$
半径	$R+r$	$R$	$R-r$	$R$	$R+r$

変数 $\theta$ を $0\to 2\pi$ と動かすと、最も外側の円周（ $z=0$ ）→頂上部の円周（ $z=1$ ）→最も内側の円周（ $z=0$ ）→最下部の円周（ $z=-1$ ）→最も外側の円周（ $z=0$ ）と曲面を描くことが分かります。

メリディアンループの観察

変数 $\phi$ を固定してトーラスを観察しましょう。

$\cos \phi =1$, $\sin \phi =0$ のとき（$\phi =0$）, 次式が成り立ちます：

$$(x-R{)}^2+z^2=r^2$$

これは 垂直方向の円周（メリディアンループ）を表します。

$\phi =0$ ではないときは、図形を $z$ 軸を中心に $xy$ 平面を$-\phi$ だけ回転すれば，同様に $\theta$ が描く図形は垂直方向の円周だと分かります。

つまり、$xy$ 平面の方向で偏角 $\phi$ の場所のメリディアンループと一致します。

結論として、描かれる図形がトーラスと分かります。■