オイラー標数

  • オイラー標数は、多面体の頂点と辺、面の情報から計算さます。
  • オイラー標数は位相不変量で,多面体の空洞や穴がいくつあるかを数えることができます。
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定義. 多面体 $M$ について,頂点の個数 $v$,辺の本数 $e$,面の枚数 $f$ であるとき,次の値をオイラー標数という:

$$\chi(M) = v - e + f$$

定理(多面体定理). 凸多面体 $M$ について,次が成り立つ:

$$\chi(M)= 2.$$

定理. 種数 $g$ の閉曲面 $S$ について,向きづけ可能な曲面では $\chi(S) = 2-2g$ であり,向きづけ不可能な曲面では $\chi(S) = 2-g$ である。

数学のポイント

探究課題(Problem!)

  • オイラーの多面体定理を証明できるかな?
  • 二人乗り浮き輪など,ここで紹介していない曲面のオイラー標数を計算してみよう!

オイラー標数について

多面体の頂点の個数 $v$,辺の本数 $e$,面の枚数 $f$ について,$\chi = v-e+f$ をオイラー標数という。

正多面体のオイラー標数

正多面体は5種類だけ存在する。

すべてオイラー標数は $2$ です。

正多面体頂点オイラー標数
正四面体4642
立方体81262
正八面体61282
正十二面体2030122
正二十面体1230202
正多面体のオイラー標数

多面体のオイラー標数

その他,多面体に対してもオイラー標数は定義される。

特に,オイラーの多面体定理が重要である。

オイラーの多面体定理

凸多面体 $M$ について,$\chi(M)= 2$ である。

証明をすると長くなるので,今は省略する。

曲面のオイラー標数の例

曲面は,三角形分割(もしくはセル分割)できる。曲面を多面体と見なし,オイラー標数を定義することができる。

※三角形分割,セル分割に依らずにオイラー標数の値は決定する。

以下,曲面の展開図(セル分割)を利用して,オイラー標数を計算する。

球面のオイラー標数

具体例

球面 $\mathbf{S}^2$ について,$\chi(\mathbf{S}^2) = 2$.

【検証】展開図のセル分割で確認

展開図で確認する。頂点が3個,辺が2本,面が1枚なので,球面のオイラー標数は2です。

$$\chi(\mathbf{S}^2) = 3 - 2 + 1 = 2.$$

トーラスのオイラー標数

具体例

トーラス $\mathbf{T}$ について,$\chi(\mathbf{T}) = 0$.

【検証】展開図のセル分割で確認

展開図で確認する。頂点が1個,辺が2本,面が1枚なので,トーラスのオイラー標数は0です。

$$\chi(\mathbf{S}^2) = 1 - 2 + 1 = 0.$$

射影平面のオイラー標数

具体例

射影平面 $\mathbf{P}^2$ について,$\chi(\mathbf{P}^2) = 1$.

【検証】展開図のセル分割で確認

展開図で確認する。頂点が2個,辺が2本,面が1枚なので,実射影平面のオイラー標数は1です。

$$\chi(\mathbf{P}^2) = 2 - 2 + 1 = 1.$$

クラインの壷のオイラー標数

具体例

クラインの壺 $\mathbf{K}$ について,$\chi(\mathbf{K}) = 0$.

https://www.masulesson.com/klein-bottle
【検証】展開図のセル分割で確認

展開図で確認する。頂点が1個,辺が2本,面が1枚なので,クラインの壷のオイラー標数は0です。

$$\chi(\mathbf{K}) = 1 - 2 + 1 = 0.$$

定理

種数 $g$ の閉曲面 $S$ について,向きづけ可能な曲面では $\chi(S) = 2-2g$ であり,向きづけ不可能な曲面では $\chi(S) = 2-g$ である。

向きづけ可能とは表裏が区別できる曲面で,向きづけ不可能とは表裏の区別できない曲面のことである。

【検証】今回の例だけ確認
曲面オイラー標数 $\chi$種数 $g$表裏
凸多面体20
球面20
トーラス01
射影平面11×
クラインの壺02×
正多面体のオイラー標数

凸多面体・球面・トーラスについては,向きづけ可能であり,オイラー標数と種数の関係式 $\chi = 2-2g$ に対応している。

射影平面・クラインの壺については,向きづけ不可能であり,オイラー標数と種数の関係式 $\chi = 2-g$ に対応している。■

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